Ta có:

\(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=0\)

Câu hỏi của Vũ Anh Quân - Toán lớp 8 | Học trực tuyến nè nhé b .

Câu hỏi của Vũ Anh Quân - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Bài này mình làm 2 cách cho bạn dễ hiểu nha

C1:\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=1\Leftrightarrow x\left(z+x\right)\left(x+y\right)+y\left(y+z\right)\left(x+y\right)+z\left(z+x\right)\left(y+z\right)=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right) \)\(\Leftrightarrow x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)+z^2\left(x+y\right)+x^3+y^3+z^3+3xyz=x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)+z^2\left(x+y\right)+2xyz\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+xyz=0\)

\(\Rightarrow\left(x^3+y^3+z^3+xyz\right)\left(x+y+z\right)=0 \)

Ta cũng thấy Q=\(Q=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=\dfrac{x^2\left(z+x\right)\left(x+y\right)+y^2\left(y+z\right)\left(x+y\right)+z^2\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3+xyz\right)\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}=0\)

C2 nè :
\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=1\)

\(P=\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z\right)=x+y+z .\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}+\dfrac{y^2+y\left(x+z\right)}{z+x}+\dfrac{z^2+z\left(x+y\right)}{x+y}=x+y+z.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+x+\dfrac{y^2}{z+x}+y+\dfrac{z^2}{x+y}+z=x+y+z \left(ĐPCM\right)\)

Q = \(\dfrac{x^2}{y+z}\) + \(\dfrac{y^2}{x+z}\) + \(\dfrac{z^2}{x+y}\)

= \(\dfrac{x\left[\left(x+y+z\right)-\left(y+z\right)\right]}{y+z}\) + \(\dfrac{y\left[\left(x+y+z\right)-\left(x+z\right)\right]}{x+z}\) + \(\dfrac{z\left[\left(x+y+z\right)-\left(x+y\right)\right]}{x+y}\)

= \(\dfrac{x\left(x+y+z\right)-x\left(y+z\right)}{y+z}\) + \(\dfrac{y\left(x+y+z\right)-y\left(x+z\right)}{x+z}\) + \(\dfrac{z\left(x+y+z\right)-z\left(x+y\right)}{x+y}\)

= \(\dfrac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}\) - x + \(\dfrac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}\) - y + \(\dfrac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\) - z

= (x + y + z)\(\left[\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\right]\) - (x + y + z)

= (x + y +z) . P - (x + y + z)

= ( x + y +z) .1 - (x + y +z)

= 0 (đpcm)

1/ Đây là cách chứng minh dựa vào kiến thức lớp 9, không sử dụng các định lý hàm sin hoặc hàm cos của cấp 3:

Bạn tự vẽ hình.

Kẻ tam giác ABC với đường cao AH, ta đặt

\(BC=a;AC=b;AB=c;AH=h_a;BH=x\Rightarrow CH=a-x\)

Trong tam giác vuông ABH: \(AB^2=BH^2+AH^2\Rightarrow c^2=x^2+h^2_a\) (1)

Trong tam giác vuông ACH: \(AC^2=CH^2+AH^2\Rightarrow b^2=\left(a-x\right)^2+h^2_a\) (2)

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:

\(c^2-b^2=x^2-\left(a-x\right)^2=2ax-a^2\Rightarrow x=\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\)

Thay x vào (1) ta được:

\(h^2_a=c^2-x^2=c^2-\left(\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2=\left(c-\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\left(c+\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\)

\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)\right)\left(a^2+2ac+c^2-b^2\right)}{4a^2}\)

\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a-c\right)^2\right)\left(\left(a+c\right)^2-b^2\right)}{4a^2}\)

\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)}{4a^2}\) (3)

Gọi \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi tam giác

\(\Rightarrow a+b+c=2p\) ; \(a+b-c=2\left(p-c\right)\) ; \(b+c-a=2\left(p-a\right)\) ; \(a-b+c=2\left(p-b\right)\)

Thay vào (3) ta được:

\(h_a^2=\dfrac{2\left(p-a\right)2\left(p-c\right)2p.2\left(p-b\right)}{4a^2}=\dfrac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{a^2}\)

\(\Rightarrow h_a=\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}\)

Mà ta đã biết công thức tính diện tích tam giác:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}h_a.a\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}.a=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

Bài 2:

Áp dụng đẳng thức : \(a^2+b^2\ge2ab\) (xảy ra đẳng thức khi a = b),ta có :

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge2.\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}=\dfrac{2x}{z}\)

Tương tự : \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{z}\), \(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)

Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được :

\(2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\left(\text{đpcm}\right)\)

1 Tham khảo :

*Công thức hê rông:
S= căn của : [ p.( p-a) . (p- b). (p -c) ] với : p = ( a + b +c )/2 , a ,b ,c là các cạnh của tam giác

S = 1/2.bc.sinC <=> 4S² = b²c².sin²A
4S² = b²c²(1 - cos²A) = b²c²(1 - cosA)(1 + cosA)
= b²c²[1 - (b² + c² - a²)/2bc].[1 + (b² + c² - a²)/2bc]
= b²c²(2bc - b² - c² + a²)/2bc.(2bc + b² + c² - a²)/2bc
<=> 16S² = [a² - (b - c)²].[(b + c)² - a²]
= (a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)
<=>16S² = 16p(p - a)(p - b)(p - c)
<=> S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

Nesbit:v dài

Nham ko phai Nesbit, Cauchy-Schwarz ra luon